Персональный сайт - Теоремы об измерении вписанного угла; угла между касательной и хордой,проведенной из точки касания

Вписанный угол —угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Свойства

Теорема о вписанном угле:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается, либо дополняет половину центрального угла до 180°.

Доказательство

Пусть $\angle ABC$ — вписанный угол окружности с центром $O$ , опирающийся на дугу $A C$ . Докажем, что $\angle ABC = \angle AOC/2$ . Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.

1. Луч

B O

совпадает с одной из сторон $\angle ABC$ , например со стороной

B C

. В этом случае дуга

A C

меньше полуокружности, поэтому $\angle AOC = AC$ . Так как $\angle AOC$ — внешний угол равнобедренного $\triangle ABO$ , а углы при основании равнобедренного треугольника равны, один из них это $\angle ABC$ , значит их сумма равна $2\angle ABC$ , a $\angle AOC = 2\angle ABC$ . Отсюда следует, что $\angle ABC = 0{,}5\angle AOC$ .

2. Луч

B O

делит $\angle ABC$ на два угла. В этом случае луч

B O

пересекает дугу

A C

в некоторой точке

D

. Точка

D

разделяет дугу

A C

на две дуги:

A D

D C

. По доказанному в п.1 $\angle ABD = 0{,}5AD$ и $\angle DBC = 0{,}5DC$ . Складывая эти равенства почленно, получаем: $\angle ABD + \angle DBC = 0{,}5AD+0{,}5DC$ , или $\angle ABC = 0{,}5AC$ .

3. Луч

B O

лежит вне $\angle ABC$ . В этом случае дуга

A C

составляет часть дуги

A D

. По доказанному в п.1 $\angle ABD = 0{,}5AD$ и $\angle DBC = 0{,}5DC$ . $\angle ABC = \angle ABD - \angle DBC = 0{,}5AD-0{,}5DC = 0{,}5(AD-DC)$ . Т.к. дуга

A C = A D - D C

, то $\angle ABC = 0{,}5AC$ .

Следствия:
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
- - Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.
Угол между касательной и хордой является предельным случаем вписанного угла и также равен половине дуги, на которую опирается.

Обратная связь

Бесплатный хостинг uCoz