Математическая индукция — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Неравенство Бернулли.
(1 + x)^n >= 1 + n * x, 
, x >= -1
Доказательство:
- n = 1
1 + x = 1 + x - n = k
(1 + x)^k >= 1 + kx (1) - n = k + 1
(1 + x)^(k + 1) >= 1 + (k + 1) * x
Умножим (1) на (1 + x)
(1 + x)^(k + 1) >= (1 + kx) * (1 + x)
(1 + x)^(k + 1) >= 1 + k + kx + kx^2
(1 + x)^(k + 1) >= 1 + (k + 1) * x + kx^2
Поскольку kx^2 > 0, то
1 + (k + 1) * x + kx^2 >= 1 + (k + 1) * x
Тогда по свойству транзитивности неравенства (a > b, b > c => a > c)
(1 + x)^(k + 1) >= 1 + (k + 1) * x
Таким образом, из допущения, что неравенство Бернулли верно для n = k, мы получиди что оно верно и для n = k + 1, значит, по принципу мат. индукции, это неравенство верно для всех
