Степень с натуральным показателем и её свойства

Степень с натуральным показателем.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

aⁿ = 

В выражении aⁿ :

-  число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

-  число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

Например:
2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2   – основание степени,
5   – показатель степени,
32 – значение степени

Отметим, что основание степени может быть любым числом.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 10⁸

Каждое число больше 10 можно записать в виде: а · 10ⁿ , где 1 ≤ a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Например:  4578 = 4,578 · 10³ ;

103000 = 1,03 · 10⁵.

Свойства степени с натуральным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

a ^m · a ⁿ = a ^{m + n}

например:  7^1.7 · 7 ^{- 0.9} = 7^{1.7+( - 0.9)} = 7^{1.7 - 0.9} =  7^0.8

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

a ^m / a ⁿ = a ^{m — n} ,

где,  m > n,
a ≠ 0

например: 13^3.8 / 13 ^-0.2 = 13^{(3.8 -0.2)} = 13^3.6

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

(a ^m ) ⁿ = a ^{m ·  n}

например: (2³)² = 2 ^3·2 = 2⁶

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

(a · b)ⁿ = aⁿ·b^m,

например:(2·3) ³ = 2 ⁿ · 3 ^m ,

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

например: (2 / 5)³=(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 2³/5³

 

 

Степень с рациональным показателем

Степенью числа а > 0 с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное (n > 1), называется число 

Итак:
                                        

Например:

Степень числа 0 определена только для положительных показателей;

по определению 0^r = 0  , для любого r > 0

Замечания

1. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального r число a^r положительно.
2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k. Значение а^r также не зависит от формы записи рационального числа r.
3. При а < 0 рациональная степень числа а не определяется.

Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).

 

 

Степень с действительным показателем

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения a^x и для любого действительного числа x? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи a^α , где α - иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

1. Если a = 1, то по определению полагают, что 1^α = 1.
2. Если a > 1, то выберем любое рациональное число r₁ < α и любое рациональное число r₂ > α. Тогда, очевидно, r₁ < r₂ и, следовательно:

   Но и потому (так как a > 1) и, наконец,

   Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α.
3. Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.

Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.