Теорема о сумме углов треугольника утверждает что  сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

 Следствия

Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника 

Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника

Пусть A₁A₂...A_n — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали: A₁A₃,A₁A₄,A₁A₅...A₁A_{n − 1}. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n — 2 треугольника: ΔA₁A₂A₃,ΔA₁A₃A₄,...,ΔA₁A_{n − 1}A_n. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана.