Определение: Модулем неотрицательного числа называют само число, а модулем отрицательного числа называют число ему противоположное

Свойства:

|a| >= 0;

|a| = |-a|;

|ab| = |a| * |b|;

|a|^2 = a^2;

|a / b| = |a| / |b|, b <> 0;

|a + b| <= |a| + |b|;

|a - b| >= |a| - |b|

Доказательства:

• |a + b| <= |a| + |b|:

  Рассмотрим несколько случаев:

  1. a >= 0, b >= 0
     |a + b| = a + b, |a| + |b| = a + b
     |a + b| = |a| + |b|
  2. 
     a < 0, b < 0
     |a + b| = - a - b, |a| + |b| = - a - b
     |a + b| = |a| + |b|
  3. 
     a >= 0, b < 0, (a + b) > 0
     |a + b| = a + b, |a| + |b| = a - b
     |a + b| < |a| + |b|
  4. 
     a >= 0, b < 0, (a + b) < 0
     |a + b| = - a - b, |a| + |b| = a - b
     |a + b| < |a| + |b|



• |ab| = |a| * |b|

  Рассмотрим несколько случаев:

  1. a >= 0, b >= 0
     |ab| = ab, |a| * |b| = ab
     |ab| = |a| * |b|
  2. 
     a < 0, b < 0
     |ab| = (-a) * (-b), |a| * |b| = (-a) * (-b)
     |ab| = |a| * |b|
  3. 
     a >= 0, b < 0
     |ab| = a * (-b), |a| * |b| = a * (-b)
     |ab| = |a| * |b|