Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Простейшие тригонометрические уравнения:

sin x = a

• sin x = 0, x = пk
• sin x = 1, x = п/2 + пk
• sin x = -1, x = -п/2 + пk
• sin x = a, |a| > 1, решений нет
• sin x = a, |a| < 1, x = (-1)^k * arcsin a + пk

cos x = a 

• cos x = 0, x = п/2 + пk
• cos x = 1, x = 2пk
• cos x = -1, x = п + 2пk
• cos x = a, |a| > 1, решений нет
• cos x = a, |a| < 1, x = +-arccos a + 2пk

tg x = a

• tg x = 0, x = пk
• tg x = 1, x = п/4 + пk
• tg x = -1, x = -п/4 + пk
• tg x = a, x = arctg a + пk

ctg x = a

• ctg x = 0, x = п/2 +пk
• ctg x = 1, x = п/4 + пk
• ctg x = -1, x = 3/4 п + пk
• ctg x = a, x = arcctg a + пk

Вывод формул для синуса и косинуса:

1. Получим формулу корней для косинуса:

x1 = + arccos a + 2пk
x2 = - arccos a + 2пk

x = +- arccos a + 2пk

 

2. Получим формулу корней для синуса:

 

x1 = arcsin a + 2пk
x2 = п - arcsin a + 2пk

x1 = arcsin a + п * 2k
x2 = - arcsin a + п * 2k + п

x1 = arcsin a + п * 2k (1)
x2 = - arcsin a + п * (2k + 1) (2)

Если ввести m, то при четном m (m = 2k) формула (1) примет вид:
x1 = + arcsin a + п * m
, а при нечетном (m = 2k + 1):
x1 = - arcsin a + п * m

Запишем эти формулы одной. Заметим, что arcsin сначала положительный, затем отрицательный. Используя свойство степени с натуральным показателем можем записать:

x = (-1)^m*arcsin a + пm