Теорема К. Вейерштрасса (достаточное условие существования предела)

Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Из теоремы Вейерштрасса можно получить много очень интересных следствий, как например:

• Последовательность площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность радиуса 1, имеет предел, так как является возрастающей и ограниченной (площадью круга), и этот предел равен числу пи.

Пример на применение теоремы:

Доказать, что последовательность, у которой

a₁ = 2; a_n = (a_n-1 + 1) / 2; n > 2

имеет предел, и найти его.

Решение:

1. Найти несколько первых членов.
   2, 3/2, 5/4, 9/8, 17/16
2. Делаем предположение, что
   1 < a_n < 2             (1)
   Докажем, что (1) верно для любого натурального n > 2
   

   Доказательство:

   Применим метод математической индукции:

   1. n = 1     -     очевидно.
   2. Предположим, что это верно и для n = k
      

      1 < a_k < 2

   3. n = k + 1              1 < a_{k + 1} < 2

      a_{k + 1} = (a_k + 1) / 2

      1 < a_k < 2

      2 < a_k + 1 < 3

      1 < (a_k + 1) / 2 < 3/2

      1 < a_{k + 1} < 2.

                      Ограниченность доказана.

3. Теперь докажем монотонность.
   

   a_{n + 1} – a_n = (a_n + 1) / 2 – a_n = (a_n + 1 - 2a_n) / 2 = (1 - a_n) / 2 < 0

   1 < a_n < 2

   -1 > -a_n > -2

   0 > 1 - a_n > -1

4. Находим предел