Иррациональность числа √2

 Числа, представимые в виде несократимой дроби m/n, где m ∈  Z, n ∈ N называют рациональными.

Докажем, что число √2 иррациональное:

Предположим противное, т.е. что число √2   является рациональным. Тогда оно представимо в виде несократимой дроби m/n

                √2  = m/n

                2 = m²/n²

                m² = 2 n²

                               m = 2 k

                4 k² = 2 n²

                2 k² = n²

                               n = 2 p

                2 k² = 4 p²

                k² = 2 p²

Так можно продолжать до бесконечности, следовательно, число √2   не может быть представлено в виде несократимой дроби, а значит оно иррационально.