Геометрическая интерпретация неравенств, связывающих средние значения

Рассмотрим произвольную трапецию MNPQ с основаниями a и b.

Рассмотрим AA₁: длина отрезка AA₁, проходящего через точку пересечения диагоналей, равна AA₁ = (2ab) / (a + b) – среднему гармоническому двух оснований.

Возьмем отрезок BB₁, параллельный основанию и делящий трапецию на две подобные трапеции. Его длина равно среднему геометрическому длин оснований: BB₁ = √ab

Возьмем отрезок CC₁, соединяющий середины боковых сторон трапеции – это средняя линия трапеции. Ее длина равна (a + b) / 2 – среднему арифметическому.

Отсюда следует, что

                a < AA₁ < BB₁ < CC₁ < b

                (2ab) / (a + b) < √ab < (a + b) / 2

Если трапеция станет прямоугольником, то есть a = b, то возникает пограничный случай.