Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a  ||  b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.

Теорема

Две прямые , параллельные третьей прямой, параллельны.



Доказательство

Пусть прямые b и с параллельны прямой a. Нужно доказать, что прямые b и с параллельны.
Случай, когда прямые a, b, с лежат в одной плоскости рассмотрен а разделе параллельные прямые.
Пусть прямые не лежат в одной плоскости и β - плоскость, в которой лежат прямые a и b, а γ - плоскость, в которой лежат прямые a и с. Плоскости β и γ различны. Отметим на прямой b какую-нибудь точку B и проведем плоскость γ1 через прямую с и точку B. Она пересечет плоскость β по прямой b1.
Прямой b1 не пересекает плоскость γ. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой a, так как прямая b1 лежит в плоскости β. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая b1 лежит в плоскости γ1. Но прямые a и с как параллельные не пересекаются.
Так как прямая b1 лежит в плоскости β и не пересекает прямую a, то она параллельна a, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Значит, прямая b, совпадая с прямой b