Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии:

an + 1 = an + d.

Так как an – 1 = an – d, то an + 1 + an – 1 = 2an. Верно и обратное.

Последовательность {an} является арифметической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется рекуррентное соотношение

Формула общего члена арифметической прогрессии {an} такова:

an = a1 + (n – 1) · d.

Доказательство
Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что для n = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n = k. Докажем ее справедливость для n = k + 1. Имеем ak + 1 = ak + d = a1 + (k – 1) · d + d = a1 + k · d. Теорема доказана.
 

Сумма n первых членов арифметической прогрессии {an} равна

 

 

 

 

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q <> 0, называют геометрической прогрессией:

bn + 1 = bn · q.

Важно отметить, что число q, которое называется знаменателем прогрессии, отлично от нуля. Так как   то  Верна и обратная теорема.

Последовательность {bn} является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется соотношение

где при всех n. Тем не менее, важно понимать, что формула справедлива только для геометрической прогрессии с положительными членами, а предыдущее соотношение верно для произвольной геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии {bn} определяется формулой

bn = b1 · qn – 1.

Доказательство

Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что при n = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n = k. Докажем ее справедливость для n = k + 1. Имеем bk + 1 = bk · q = b1 · qk – 1 · q = b1 · qk. Теорема доказана.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии {bn} равна

при q <> 1 и

Sn = n · b1 при q = 1.

Эти формулы также доказываются методом математической индукции.

При |q| < 1, поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число
, где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q|  <  1) равна

Для доказательства достаточно заметить, что В предпоследнем переходе использовались свойства пределов последовательностей.

Обратная связь

Имя отправителя *:
E-mail отправителя *:
Тема письма:
Текст сообщения *:
Код безопасности *:

Бесплатный хостинг uCoz