Математическая индукция — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Неравенство Бернулли.
(1 + x)^n >= 1 + n * x, , x >= -1

Доказательство:

1. n = 1
   1 + x = 1 + x
2. n = k
   

   (1 + x)^k >= 1 + kx

   (1)

3. n = k + 1
   (1 + x)^(k + 1) >= 1 + (k + 1) * x
   
   Умножим (1) на (1 + x)
   (1 + x)^(k + 1) >= (1 + kx) * (1 + x)
   (1 + x)^(k + 1) >= 1 + k + kx + kx^2
   (1 + x)^(k + 1) >= 1 + (k + 1) * x + kx^2
   
   Поскольку kx^2 > 0, то
   1 + (k + 1) * x + kx^2 >= 1 + (k + 1) * x
   Тогда по свойству транзитивности неравенства (a > b, b > c => a > c)
   (1 + x)^(k + 1) >= 1 + (k + 1) * x

Таким образом, из допущения, что неравенство Бернулли верно для n = k, мы получиди что оно верно и для n = k + 1, значит, по принципу мат. индукции, это неравенство верно для всех