Теорема о единственности предела сходящейся числовой последовательности

Определение: Последовательность может иметь только один предел.

Доказательство: Предположим противное, т.е. пусть последовательность {x_n} такая, что

lim_n→∞xn=a  и lim_n→∞xn=b  и a <> b.

Тогда поскольку число a – предел последовательности, то должно выполняться неравенство:

| x_n - a| < ε        и             | x_n - b| < ε

Очевидно, что между двумя неравными числами (a <> b) находится бесконечно много других чисел. Поэтому всегда можно выбрать такое число ε > 0, что ε-окрестность точки a не будет пересекаться с ε-окрестностью точки b.

                (a – ε, a + ε)   (b – ε,  b + ε )  = (пустое_множество)

Поскольку число a является пределом последовательности {x_n}, то начиная с некоторого номера n > N все члены этой последовательности попадут в ε-окрестность точки a , а вне этой окрестности может оказаться только конечное число членов: x₁, x₂…x_n. Но тогда в ε-окрестность точки b может попасть только что-то из чисел x₁, x₂…x_n и не больше, а это противоречит тому, что число b предел {x_n} (Если b – предел, то в ε-окрестность точки b должно попадать не меньше, чем в ε-окрестность точки a). Следовательно, предположение о том, что a <> b не верно. Из этого следует, что a = b, а значит, предел единственен. Что и требовалось доказать.