Теорема о промежуточной последовательности

Пусть последовательность {a_n}, {b_n} и {x_n} таковы, что lim_n→∞a_n= lim_n→∞b_n= a  для любого n∈N:  a_n≤ x_n≤ b_n.

Тогда lim_n→∞x_n= a

Доказательство: Из определения предела следует, что для любого ε > 0 найдется такое число N₁(ε), что при всех n > N₁ будет выполняться неравенство
a_n - a < ε     <=>      a – ε < a_n < a + ε       (*)

∀ ε>0 ∃ N₂(ε),  n > N₂, b_n - a < ε       <=>       a - ε < b_n < a + ε        (**)

Тогда если взять N > N₁, N > N₂, при всех n > N будет выполняться как (*), так и (**).

Поскольку по условию a_n≤ x_n≤ b_n, то при n > N будем иметь

a – ε < a_n ≤ x_n ≤ b_n < a + ε

<=>

a – ε < x_n < a + ε

<=>
b_n - a < ε      <=>    lim_n→∞x_n = a